В 1949 году индийский учитель математики Даттатрея Рамачандра Капрекар из небольшого городка в штате Махараштра открыл удивительное свойство числа 6174. Это число сегодня носит его имя и называется константой Капрекара.
Суть открытия проще, чем кажется: нужно взять любое 4-значное число, в котором не все цифры одинаковы, расположить его цифры по убыванию, затем по возрастанию и вычесть меньшее из большего. С получившимся результатом повторить ту же процедуру — и так несколько раз. Возьмём, например, число 4783: 8743 − 3478 = 5265; затем 6552 − 2556 = 3996; далее 9963 − 3699 = 6264; и наконец 6642 − 2466 = 4176; 7641 − 1467 = 6174. Начиная с этого момента число воспроизводит само себя снова и снова. Как доказал сам Капрекар — без компьютеров, с карандашом и бумагой, — любое подходящее 4-значное число приходит к 6174 не более чем за 7 шагов.
Для 3-значных чисел существует аналогичная константа — 495. Проверим на числе 734: 743 − 347 = 396; 963 − 369 = 594; 954 − 459 = 495. С этого момента процесс также замирает. Для других разрядностей картина сложнее: у двузначных чисел константы нет — процесс уходит в бесконечный цикл; у пятизначных — несколько различных циклов. Зато у шестизначных чисел появляются уже 2 константы: 549945 и 631764.
Любопытная закономерность: все константы Капрекара без исключения кратны 9. Это объясняется арифметическим свойством вычитания чисел с одинаковым набором цифр — разность всегда делится на 9. Именно поэтому ни одна из констант Капрекара не может быть простым числом. Есть и ещё одна неожиданная связь: если взять число 6174, сложить кубы его цифр и повторять эту операцию с каждым результатом, цепочка в конечном счёте неизбежно придёт к числу 153 — а оно само является суммой кубов собственных цифр (1³ + 5³ + 3³ = 153).
Долгое время считалось, что единственными «настоящими» константами Капрекара являются 495 и 6174. Однако в 2024 году японский математик Харуо Ивасаки окончательно разрешил этот вопрос: он доказал, что все возможные константы строятся из комбинаций всего 7 базовых чисел — 495, 6174, 36, 123456789, 27, 875421 и 09. Тем самым была завершена классификация, начатая ещё в 1981 году исследователем Г. Д. Причеттом.
Капрекар работал в одиночестве, публикуя свои работы в малоизвестных журналах, и при жизни не получил широкого признания. Однако его открытия, сделанные самыми простыми средствами, спустя десятилетия стали заново подтверждаться уже с помощью компьютеров. История константы 6174 — это напоминание о том, что даже в обычной арифметике можно найти нечто, выглядящее как магия.